网络激烈争论的高中函数题,引发的深刻反思:

 新闻资讯     |      2020-01-10 16:41

几天前在一位朋友那里看到一道简单的高中函数题,却引起了网络的激烈争论,各路“高手”都开始摆事实讲道理,“大显身手”,实际上都暴露了一个很大的“通病”:最基础方法被完美晾成空摆设。虽然大家脑海里都应该存储着这最基础的方法,但是运用时却像忘得一干二净了一样,完全没有想起调动出来。

①一些人是求出由复合函数f(x-3)的解析式本身的限制,及内层函数u=x-3本身的值域,取交集共同确定内层函数的取值范围,即f(x)的定义域。

②一些人还用换元法由f(x-3)的解析式求出f(x)的解析式。最后由f(x)的解析式本身的限制,再与前面求得的内层函数的取值范围取交集,即f(x)的定义域。

他们的依据同上。这种做法在同上面一样理解反了的情况下,实际上已经是多此一举,白费力做无用功而已。因为上面求出的内层函数的取值范围,已经经过了解析式本身对内层函数u的限制这一关,这一关跟f(x)的解析式本身的限制是完全一样的,多此一举结果不会有任何变化:

网络上很多人(包括部分高中数学老师)和一些参考书都用了上面这两种错误的解法,当给出下面的正确解法时,他们反而犯难,甚至有被绕晕的感觉,觉得违背翻译公司了“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的依据。

依据本身是对的,但是他们理解错了,依据用反了。正确的理解是复合函数f(u)内层函数u=x-3的取值范围包含于f(x)的定义域,因为内层函数本身值域的限制是它内层函数的对应法则自己附加的,但它整体还必须再受到外层函数的对应法则的限制(即f(x)的定义域)。

下面顺便看看“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”在一些高中数学题目中是怎么正确运用的。

一般是给出原函数的解析式及定义域,求复合函数的定义域或值域,而不会给出复合函数的解析式,求原函数的定义域,因为很容易引起误解,本文也只是浅浅地讨论一下。

用换元法由f(x-3)的解析式求出f(x)的解析式,分类讨论思想,其中若有定义的f(x)的解析式一致,f(x)解析式本身的限制即f(x)的最大定义域。

很多人脑海中简单地重复着“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的依据,理解错了还一直沉浸在自己错误的小世界中无法自拔,只是因为他们把最基础的方法完全抛之脑后,让最基础的方法完全成为了一个空摆设。

其实只要不总是沉浸在自己个人的小世界中,只需要换个角度,运用一般化与特殊化,即可春暖花开。一般化与特殊化是处理或解决数学问题的最基础的方法之一,在数学学习中尤为重要。

复合函数f(u)内层函数u=g(x)的本质是对一般化函数f(x)的自变量的特殊化,虽然上面题目中一般情况的f(x)解析式由特殊化后的复合函数f(x-3)解析式用换元法求出,但是f(x)不能等同于复合函数外层函数f(u),定义域自然也就不等同,本质始终是f(x-3)是特殊情况、f(x)是一般情况。特殊化情况必然包含于一般化情况之内,g(x)的值域∩f(x)的定义域=u的取值范围f(x)的定义域。

对于一般化函数f(x),其特殊化函数f(u)的u=g(x)可以是任意解析式或表达式,甚至常数,比如:

f(x-2x+3)、f(x-3)、f(4x-5)、f(lnx)、f[lg(x-5x+6)]、f[(x-2)/(3x+4)]、f(x)、f(e)、f(sinx)等等。上海翻译

其特殊化的区别只在于u=g(x)的值域,在f(x)的定义域的基础上进一步限制了u的取值范围。f(x)的定义域始终是那个定义域,并不会因为特殊化复合函数内层函数的取值范围的变化而变化。

下面就以一个最特殊化的情况来再次对照和说明上面的问题:自变量特殊化为常数,难道一般化函数的定义域就是这个常数了?显然不可能!而是要用到分类讨论思想:

这样一进行“最特殊化”,作为对照,上面的问题也就能得到很好的说明,也就瞬间理解了。

很多人对中学数学基础概念、结论等等记忆得非常牢固,但是缺乏真正深刻的理解,遇到弯弯绕绕可能就走错了岔路。数学是最具理科性质的科目,很多的基础概念、结论等等真正深刻理解了,不需要死记硬背,自然而然就在你脑海里根深蒂固了,而运用时在脑海里调动起来也更为迅捷。不过大家不要误解,绝对不是喊大家不用去记忆了,记忆还是需要的,虽然很多人一时半刻也没能理解得那么透彻,但是大多数的题目都是没有弯弯绕绕的,所以没理解透彻也先记着,这样至少走大多数的直路先够用了。

一些数学问题是有多种方法都可以解决的,如果当你对一种方法解决某个问题不是百分之百地确定无误时,那么换用你确定万无一失的方法。不要死板地“在一棵树上吊死”,不要一直握着自认为记忆牢固了,实际上却运用错误了的结论或方法不放手,还跟大家作一些无谓的激烈争论,换个角度换条思路换种方法或许遮住眼睛的浮云立即就散了。就像最上面的题,有些人对“复合函数内层函数的值域是外层函数的定义域”的结论没理解透彻,不妨换“一般化与特殊化”来理解,或许就豁然开朗了。

综上,本来是一道极其简单的高中数学题,因为对基础结论的理解不够透彻,对基础方法的运用不够灵活,却引发了网络的激烈争论,甚至据说部分高中数学老师都被绕晕,一些参考书都解错凯莱恩翻译,完全不至于。当然本文只是浅浅地略微讨论深刻思考一下,不足之处,请大家多指正交流。